Độ dài véctơ a → = ( x , y , z ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(x,y,z)} được ký hiệu là | a → | = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} .
Đối với hai véctơ a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(x_{1},y_{1},z_{1})} và b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(x_{2},y_{2},z_{2})} tổng của chúng được xác định là a → + b → = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})} .
Phép nhân véctơ a → = ( x , y , z ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(x,y,z)} với một đại lượng vô hướng được xác định là b → = k a → = ( k x , k y , k z ) {\displaystyle {\overrightarrow {b}}=k{\overrightarrow {a}}=(kx,ky,kz)} . Ở đây độ dài véctơ thay đổi | k | {\displaystyle |k|} lần. Nếu k < 0, thì hướng của véctơ thay đổi theo chiều ngược lại.
Tích vô hướng của các véctơ a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(x_{1},y_{1},z_{1})} và b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(x_{2},y_{2},z_{2})} bằng x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 {\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}} .
Tích vectơ của các véctơ a → = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(x_{1},y_{1})} và b → = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(x_{2},y_{2})} bằng { y 1 z 2 − z 1 y 2 , z 1 x 2 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − y 1 x 2 } {\displaystyle \left\{y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2},~z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2},~x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}\right\}} . Đây là phép toán duy nhất, trong đó sự thu nhỏ kích thước (số chiều) không gian không dẫn đến loại bỏ tọa độ thứ ba (thay thế nó bằng 0). Thông thường đối với các véctơ hai chiều, người ta sẽ lấy tọa độ thứ ba tương ứng với các véctơ ba chiều làm giá trị của tích véctơ: x 1 y 2 − x 2 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}} .
